Sistem persamaan linear dua variabel ax + by = p dan cx + dy = q. Salah satu persamaan tersebut diubah variabelnya menjadi sebuah persamaan yang ekuivalen. Misalnya kita ambil persamaan ax + by = p, maka:
=> ax + by = p
=> ax = p – by
=> x = (p – by)/a
Substitusikan x = (p – by)/a ke persamaan lainnya yakni cx + dy = q, maka:
=> cx + dy = q
=> c((p – by)/a) + dy = q
=> pc/a – cby/a + dy = q
=> pc/a – cby/a + ady/a = q
=> pc –bcy + ady = aq
=>ady – bcy = aq –pc
=> y(ad – bc) = aq –pc
=> y = (aq –pc)/(ad – bc)
Jadi, jika ada sistem persamaan linear dua variabel ax + by = p dan cx + dy = q, dengan variabelnya x dan y maka nilai variabel y dapat ditentukan dengan rumus:
y = (aq –pc)/(ad – bc)
Jika digambarkan akan tampak seperti gambar di bawah ini.
Dari gambar di atas nilai variabel y dapat ditentukan dengan cara mengalikan a dengan q kemudian kurangkan dengan p dikali c, hasil pengurangan tersebut lalu bagi dengan a dikali d dikurangi dengan bdikali c. Untuk memudahkan pemahaman silahkan simak beberapa contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan cara cepat jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.
1. 3x + y = 4 dan –x + 2y = 1
2. x + y = 5 dan y = x + 1
3. x + 5y = –5 dan x + y + 5 = 0
4. 2x – 3y = 11 dan 3x + y = 0
5. x = y + 2 dan y = 2x – 5
6. y = –x dan 3x + y = 2
7. 2x + 3y = 0 dan x + y = 1
8. 2x + y + 5 = 2 dan 3y + 2x = –5
9. 4x + 3y = 6 dan 2x – y = 3
10. 2x + 4y = 6 dan 4x + 8y – 8 = 0
Penyelesaian:
1. 3x + y = 4 dan –x + 2y = 1
Kita susun terlebih dahulu sehingga mudah untuk mengerjakannya dengan cara cepat yakni:
3x + y = 4
–x + 2y = 1
=> y = (3.1 – 4.( –1))/(3.2 – 1 .( –1))
=> y = (3 + 4)/(6 + 1)
=> y = 7/7
=> y = 1
Sekarang substitusi y = 1 ke salah satu persamaan tersebut, misalnya persamaan 3x + y = 4, maka:
=> 3x + y = 4
=> 3x + 1 = 4
=> 3x = 3
=> x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 1)}.
2. x + y = 5 dan y = x + 1
Kita susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen sehingga mudah untuk mengerjakannya dengan cara cepat yakni:
x + y = 5
x – y = – 1
=> y = (1 . (– 1) – 5 . 1)/(1 . (– 1) – 1 . 1)
=> y = – 6/– 2
=> y = 3
Substitusi y = 3 ke persamaan x + y = 5, maka:
=> x + y = 5
=> x + 3 = 5
=> x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 3)}.
3. x + 5y = –5 dan x + y + 5 = 0. Kita susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:
x + 5y = –5
x + y = –5
=> y = (1 . (– 5) – (–5 . 1)/(1 . 1 – 5 . 1)
=> y = 0/– 4
=> y = 0
Substitusi y = 0 ke persamaan x + 5y = –5, maka:
=> x + 5y = –5
=> x + 5.0 = –5
=> x = –5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–5, 0)}.
4. Dengan menggunakan rumus cepat maka nilai y yakni:
2x – 3y = 11
3x + y = 0,
=> y = (2.0 – 11.3)/(2.1 – (–3).3)
=> y = –33/11
=> y = –3
Substitusi y = –3 ke persamaan 3x + y = 0, maka:
=> 3x + y = 0
=> 3x + (–3) = 0
=> 3x = 3
=> x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, –3)}
5. x = y + 2 dan y = 2x – 5, susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:
x – y = 2
2x – y = 5
=> y = (1.5 – 2.2)/(1. (–1) – (–1).2)
=> y = 1/1
=> y = 1
Substitusi y = 1 ke persamaan x = y + 2, maka:
=> x = y + 2
=> x = 1 + 2
=> x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1)}
6. y = –x dan 3x + y = 2, susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:
x + y = 0
3x + y = 2
=> y = (1.2 – 0.3)/ (1.1 – 1.3)
=> y = 2/–2
=> y = –1
Substitusi y = 1 ke persamaan 3x + y = 2, maka:
=> 3x + y = 2
=> 3x –1 = 2
=> x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, –1)}
7. Dengan menggunakan rumus cepat maka nilai y yakni:
2x + 3y = 0
x + y = 1
=> y = (2.1 – 0.1)/(2.1 – 3.1)
=> y = 2/– 1
=> y = – 2
Substitusi y = – 2 ke persamaan x + y = 1, maka:
=> x + y = 1
=> x – 2 = 1
=> x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, –2)}
8. 2x + y + 5 = 2 dan 3y + 2x = –5, susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:
2x + y = –3
2x + 3y = –5
=> y = (2.( –5) – (–3).2)/(2.3 – 1.2)
=> y = (–10 + 6)/(6 – 2)
=> y = –4/4
=> y = –1
Substitusi y = – 1 ke persamaan 2x + 3y = –5, maka:
=> 2x + 3y = –5
=> 2x + 3(–1) = –5
=> 2x = –2
=> x = –1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–1, –1)}
9. Dengan menggunakan rumus cepat maka nilai y yakni:
4x + 3y = 6
2x – y = 3
=> y = (4.3 – 6.2)/(4. (–1) – 2.3)
=> y = o/(–1)
=> y = 0
Substitusi y = 0 ke persamaan 2x – y = 3, maka:
=> 2x – y = 3
=> 2x – 0 = 3
=> x = 3/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3/2, 0)}
10. 2x + 4y = 6 dan 4x + 8y – 8 = 0
susun terlebih dahulu persamaan tersebut, tetapi masih ekuivalen yakni:
2x + 4y = 6
4x + 8y = 8
=> y = (2.8 – 6.4)/(2.8 – 4.4)
=> y = (16 – 24)/(16 – 16)
=> y = – 8/0
=> y = ~
Karena y = ~ maka himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
