Soal No. 1
Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
dari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0)
b) jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran r = 5
c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan dengan bentuk :
x2 + y2 = r2
sehingga
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25
Soal No. 2
Suatu lingkaran memiliki persamaan:
x2 + y2 = 144
Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!
Pembahasan
Lingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:
r = √144
= 12 cm.
Diameter lingkaran:
D = 2 r
= 24 cm.
Soal No. 3
Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut!
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
pusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)
b) jari-jari lingkaran
sesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3
c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
dimana a = 5, dan b = 6
sehingga
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 32
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 9
Soal No. 4
Persamaan suatu lingkaran adalah x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0
Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
Pembahasan
Suatu lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
akan memiliki titik pusat (−1/2A, −1/2 B) dan jari-jari r = √[1/4 A2 + 1/4 B2 −C] .
Dari persamaan lingkaran diatas nilai :
A = −8, B = 4 dan C = − 5
a) titik pusat (−1/2[−8], −1/2 [4]) = (4, −2)
b) jari-jari lingkaran r = √[1/4 (−8)2 + 1/4 (4)2 −(−5)] = √25 = 5
Soal No. 5
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...
A. 5 dan (−2, 3)
B. 5 dan (2, −3)
C. 6 dan (−3, 2)
D. 6 dan (3, −2)
E. 7 dan (4, 3)
Pembahasan
x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0
A = 4
B = −6
C = −12
Pusat:
Jari-jari:
Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).
Soal No. 6
Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 − 1/2 ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8
Pembahasan
Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu:
Jadi persamaan lingkarannya sebenarnya adalah
Jari-jarinya:
Diameternya adalah 2 × 4 = 8
Soal No. 7
Diberikan persamaan lingkaran:
x2 + y2 −4x + 2y − 4 = 0.
Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!
Pembahasan
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:
Titik A (2, 1)
x = 2
y = 1
x2 + y2 −4x + 2y − 4
= (2)2 + (1)2 −4(2) + 2(1) − 4
= 4 + 1 − 8 + 2 − 4
= −5
Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.
Aturan selengkapnya:
Soal No. 8
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Titik B memiliki koordinat (5, − 1).
Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!
Pembahasan
Untuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2, kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:
Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.
B (5, − 1)
x = 5
y = − 1
(x − 2)2 + (x + 1)2
= (5 − 2)2 + (−1 + 1)2
= 9
Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.
Soal No. 9
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Titik C memiliki koordinat (3, 4).
Tentukan jarak titik C dari pusat lingkaran!
Pembahasan
Persamaan lingkarannya,
(x − a)2 + (x − b)2 = r2
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Pusat lingkaran ini adalah,
P (a, b)
= (2, − 1)
Jarak titik C (3, 4) ke pusat P (2, − 1) ditentukan dengan rumus jarak antara dua titik:
Hasilnya
Terbalik angkanya hasilnya sama juga
Soal No. 10
Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut:
x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0
Jika pusat lingkaran adalah P(a, b) maka nilai dari 10a − 5b =....
A. −10
B. −5
C. 5
D. 10
E. 20
Pembahasan
x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0
Pusatnya adalah
P (−1/2[−2], −1/2 [4])
= (1, −2)
Jadi a = 1 dan b = − 2.
10a − 5b =....
10(1) − 5(−2) = 10 + 10 = 20
Soal No. 11
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Nilai A yang memenuhi adalah...
A. − 2 dan 2
B. − 4 dan 4
C. − 5 dan 5
D. − 6 dan 6
E. − 9 dan 9
Pembahasan
Cara Pertama:
Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya akan sama dengan nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau
Sehingga jari-jari lingkaran x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 = 5.
Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya:
Cara kedua:
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Artinya saat menyinggung sumbu x nilai y = 0. Masukkan ke persamaan, y diisi nol,
Terbentuk persamaan kuadrat, syaratnya menyinggung nilai diskrimanan sama dengan nol (D = 0), ingat D = b2 − 4ac di materi persamaan kuadrat. Sehingga
Soal No. 12
Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0 adalah.....
A. x2 + y2 − 6x − 2y + 6 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 2y + 9 = 0
C. x2 + y2 − 6x − 2y − 6 = 0
D. x2 + y2 + 6x − 2y + 6 = 0
E. x2 + y2 + 6x + 2y − 6 = 0
(Persamaan Lingkaran - UAN 2006)
Pembahasan
Kuncinya adalah mengetahui berapa jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Baik diketahui dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu garis.
Dalam kasus ini jari-jari lingkarannya sama dengan jarak titik ke garis, karena garisnya menyinggung lingkaran.
Jarak titik P(3, 1) ke garis x + 4y + 7 = 0 adalah
Dengan demikian jari-jari lingkarannya r = d = 4.
Tinggal membuat persamaan lingkarannya, pusatnya di titik (3, 1) dengan jari-jari 4
Soal No. 13
Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah...
A √3
B. 3
C. √13
D. 3√3
E. √37
(Lingkaran - Ebtanas 1996)
Soal No. 14
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 29 yang melalui titik (5, − 2).
Pembahasan
Titik (5, − 2) terletak pada lingkaran dan sekaligus menjadi titik singgungnya, karena 52 + (−2)2 = 25 + 4 = 29
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 jika diketahui titik singgungnya adalah:
x1x + y1y = r2
5x + (−2)y = 29
5x − 2y = 29
Soal No. 15
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik:
a) (3, −2)
b) (3, 2)
Pembahasan
Tipe soal masih seperti nomor 14. Titik (3, − 2) dan titik (3, 2) sama-sama berada pada lingkaran x2 + y2 = 13 sehingga persamaan garis singgungnya masing-masing adalah:
a) x1x + y1y = r2
3x − 2y = 13
b) x1x + y1y = r2
3x + 2y = 13
Berikut lukisan sebuah lingkaran pada sumbu x dan sumbu y.
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
dari gambar terlihat bahwa koordinat pusat lingkaran adalah (0, 0)
b) jari-jari lingkaran
Jari-jari lingkaran r = 5
c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan pusat titik (0, 0) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan dengan bentuk :
x2 + y2 = r2
sehingga
x2 + y2 = 52
x2 + y2 = 25
Soal No. 2
Suatu lingkaran memiliki persamaan:
x2 + y2 = 144
Tentukan panjang diameter lingkaran tersebut!
Pembahasan
Lingkaran pusat di (0, 0) di atas memiliki jari-jari:
r = √144
= 12 cm.
Diameter lingkaran:
D = 2 r
= 24 cm.
Soal No. 3
Diberikan sebuah lingkaran seperti gambar berikut!
Tentukan:
a) koordinat titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
c) persamaan lingkaran
Pembahasan
a) koordinat titik pusat lingkaran
pusat lingkaran terletak pada x = 5 dengan y = 6 sehingga koordinatnya adalah (5, 6)
b) jari-jari lingkaran
sesuai gambar diatas, jari-jari lingkaran adalah 5 − 2 = 3
c) persamaan lingkaran
lingkaran dengan titik pusat di (a, b) dengan jari-jari r akan memiliki persamaan berikut:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
dimana a = 5, dan b = 6
sehingga
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 32
(x − 5)2 + (y − 6)2 = 9
Soal No. 4
Persamaan suatu lingkaran adalah x2 + y2 − 8x + 4y − 5 = 0
Tentukan:
a) titik pusat lingkaran
b) jari-jari lingkaran
Pembahasan
Suatu lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0
akan memiliki titik pusat (−1/2A, −1/2 B) dan jari-jari r = √[1/4 A2 + 1/4 B2 −C] .
Dari persamaan lingkaran diatas nilai :
A = −8, B = 4 dan C = − 5
a) titik pusat (−1/2[−8], −1/2 [4]) = (4, −2)
b) jari-jari lingkaran r = √[1/4 (−8)2 + 1/4 (4)2 −(−5)] = √25 = 5
Soal No. 5
Jari-jari dan pusat lingkaran yang memiliki persamaan x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0 adalah...
A. 5 dan (−2, 3)
B. 5 dan (2, −3)
C. 6 dan (−3, 2)
D. 6 dan (3, −2)
E. 7 dan (4, 3)
Pembahasan
x2 + y2 + 4x − 6y − 12 = 0
A = 4
B = −6
C = −12
Pusat:
Jari-jari:
Sehingga jari-jari dan pusatnya adalah 5 dan (−2, 3).
Soal No. 6
Lingkaran dengan persamaan 2x2 + 2y2 − 1/2 ax + 4y − 12 = 0 melalui titik (1, − 1). Diameter lingkaran tersebut adalah....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
E. 8
Pembahasan
Masukkan titik (1, − 1) ke persamaan lingkaran untuk mendapatkan nilai a terlebih dahulu:
Jadi persamaan lingkarannya sebenarnya adalah
Jari-jarinya:
Diameternya adalah 2 × 4 = 8
Soal No. 7
Diberikan persamaan lingkaran:
x2 + y2 −4x + 2y − 4 = 0.
Titik A memiliki koordinat (2, 1). Tentukan posisi titik tersebut, apakah di dalam lingkaran, di luar lingkaran atau pada lingkaran!
Pembahasan
Masukkan koordinat A ke persamaan lingkarannya:
Titik A (2, 1)
x = 2
y = 1
x2 + y2 −4x + 2y − 4
= (2)2 + (1)2 −4(2) + 2(1) − 4
= 4 + 1 − 8 + 2 − 4
= −5
Hasilnya lebih kecil dari 0, sehingga titik A berada di dalam lingkaran.
Aturan selengkapnya:
| Hasil < 0 , titik di dalam lingkaran Hasil > 0 , titik akan berada di luar lingkaran. Hasil = 0, maka titik berada pada lingkaran. |
Soal No. 8
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Titik B memiliki koordinat (5, − 1).
Tentukan posisi titik B apakah berada di dalam, luar atau pada lingkaran!
Pembahasan
Untuk bentuk persamaan lingkaran bentuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2, kedudukan titik terhadap lingkarannya sebagai berikut:
| Di dalam lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 < r2 Di luar lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 > r2 Pada lingkaran untuk (x − a)2 + (x − b)2 = r2 |
Masukkan koordinat B ke persamaan lingkarannya, lihat hasilnya terhadap angka 9, lebih besar, lebih kecil ataukah sama.
B (5, − 1)
x = 5
y = − 1
(x − 2)2 + (x + 1)2
= (5 − 2)2 + (−1 + 1)2
= 9
Hasilnya sama, jadi titik B berada pada lingkaran.
Soal No. 9
Diberikan persamaan lingkaran:
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Titik C memiliki koordinat (3, 4).
Tentukan jarak titik C dari pusat lingkaran!
Pembahasan
Persamaan lingkarannya,
(x − a)2 + (x − b)2 = r2
(x − 2)2 + (x + 1)2 = 9
Pusat lingkaran ini adalah,
P (a, b)
= (2, − 1)
Jarak titik C (3, 4) ke pusat P (2, − 1) ditentukan dengan rumus jarak antara dua titik:
Hasilnya
Terbalik angkanya hasilnya sama juga
Soal No. 10
Diberikan persamaan lingkaran sebagai berikut:
x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0
Jika pusat lingkaran adalah P(a, b) maka nilai dari 10a − 5b =....
A. −10
B. −5
C. 5
D. 10
E. 20
Pembahasan
x2 + y2 −2x + 4y + 1 = 0
Pusatnya adalah
P (−1/2[−2], −1/2 [4])
= (1, −2)
Jadi a = 1 dan b = − 2.
10a − 5b =....
10(1) − 5(−2) = 10 + 10 = 20
Soal No. 11
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Nilai A yang memenuhi adalah...
A. − 2 dan 2
B. − 4 dan 4
C. − 5 dan 5
D. − 6 dan 6
E. − 9 dan 9
Pembahasan
Cara Pertama:
Lingkarannya menyinggung sumbu x, sehingga jari-jari lingkarannya akan sama dengan nilai positif dari ordinat titik pusatnya atau
Sehingga jari-jari lingkaran x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 adalah r = 10/2 = 5.
Dari rumus jari-jari lingkaran yang telah dihilangkan tanda akarnya:
Cara kedua:
Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 − Ax − 10y + 4 = 0 menyinggung sumbu x. Artinya saat menyinggung sumbu x nilai y = 0. Masukkan ke persamaan, y diisi nol,
Terbentuk persamaan kuadrat, syaratnya menyinggung nilai diskrimanan sama dengan nol (D = 0), ingat D = b2 − 4ac di materi persamaan kuadrat. Sehingga
Soal No. 12
Persamaan lingkaran dengan pusat P(3, 1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = 0 adalah.....
A. x2 + y2 − 6x − 2y + 6 = 0
B. x2 + y2 − 6x − 2y + 9 = 0
C. x2 + y2 − 6x − 2y − 6 = 0
D. x2 + y2 + 6x − 2y + 6 = 0
E. x2 + y2 + 6x + 2y − 6 = 0
(Persamaan Lingkaran - UAN 2006)
Pembahasan
Kuncinya adalah mengetahui berapa jari-jari lingkaran terlebih dahulu. Baik diketahui dulu rumus untuk menentukan jarak suatu titik ke suatu garis.
Dalam kasus ini jari-jari lingkarannya sama dengan jarak titik ke garis, karena garisnya menyinggung lingkaran.
Jarak titik P(3, 1) ke garis x + 4y + 7 = 0 adalah
Dengan demikian jari-jari lingkarannya r = d = 4.
Tinggal membuat persamaan lingkarannya, pusatnya di titik (3, 1) dengan jari-jari 4
Soal No. 13
Jari-jari lingkaran pada gambar di bawah ini adalah...
A √3
B. 3
C. √13
D. 3√3
E. √37
(Lingkaran - Ebtanas 1996)
Soal No. 14
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 29 yang melalui titik (5, − 2).
Pembahasan
Titik (5, − 2) terletak pada lingkaran dan sekaligus menjadi titik singgungnya, karena 52 + (−2)2 = 25 + 4 = 29
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = r2 jika diketahui titik singgungnya adalah:
x1x + y1y = r2
5x + (−2)y = 29
5x − 2y = 29
Soal No. 15
Tentukan persamaan garis singgung untuk lingkaran x2 + y2 = 13 yang melalui titik:
a) (3, −2)
b) (3, 2)
Pembahasan
Tipe soal masih seperti nomor 14. Titik (3, − 2) dan titik (3, 2) sama-sama berada pada lingkaran x2 + y2 = 13 sehingga persamaan garis singgungnya masing-masing adalah:
a) x1x + y1y = r2
3x − 2y = 13
b) x1x + y1y = r2
3x + 2y = 13
