Sebelum menentukan rumus sinus jumlah/selisih dua sudut, kita akan membuktikan bahwa cos (π/2 – θ) = sin θ dan sin (π/2 – θ) = cos θ. Untuk membuktikan persamaan yang pertama, kita dapat menggunakan rumus cosinus selisih dua sudut.
Untuk persamaan yang kedua, kita akan menggunakan cos (π/2 – θ) = sin θ, dan mengganti θ dengan bilangan real π/2 – t. Sehingga,
Sehingga, kita memperoleh cos t = sin (π/2 – t) untuk t sembarang bilangan real. Kedua identitas di atas dapat dituliskan ke dalam sembarang bilangan real t.
Identitas untuk Sudut-sudut yang Berkomplemen
cos (π/2 – t) = sin t
cos t = sin (π/2 – t)
Kedua identitas di atas dapat dipahami dengan menggunakan segitiga siku-siku sebagai berikut.
Rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut dapat ditentukan dengan menggunakan identitas di atas. Karena sin t = cos (π/2 – t), kita cukup mensubstitusi t dengan α + β atau α – β.
Sehingga, kita memperoleh sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β. Dengan mengganti β dengan –β, kita mendapatkan
Rumus-rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut di atas dapat dituliskan sebagai berikut.
Rumus Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Untuk lebih memahami penggunaan rumus sinus jumlah/selisih dua sudut dalam memecahkan masalah, perhatikan contoh berikut.
Contoh 1: Menyederhanakan Persamaan
Sederhanakanlah bentuk, sin (2t) cos t + cos (2t) sin t!
Pembahasan Karena persamaan di atas memenuhi rumus sinus untuk jumlah dua sudut, maka
Sehingga bentuk, sin (2t) cos t + cos (2t) sin t sama dengan sin 3t.
Rumus sinus untuk jumlah/selisih dua sudut juga dapat digunakan untuk menguji kebenaran dari identitas trigonometri lainnya. Perhatikan contoh berikut.
Contoh 2: Menguji Kebenaran Suatu Identitas
Ujilah kebenaran dari identitas, sin (α + β) sin (α – β) = sin2 α – sin2 β.
Pembahasan Dengan menggunakan rumus sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut, kita dapat memperoleh
