Rumus Garis Berat pada Segitiga Matematika

Pada tulisan saya ini saya menggunakan segitiga sembarang agar terlihat berlaku secara umum. Ok, sekarang perhatikan $\triangle$ ABC dibawah ini.

Segitiga ABC diatas memiliki tinggi AD dan Garis Berat AE. Dari gambar diatas diperoleh persamaan

AD² = AB² – BD² … (i)

AD² = AC² – CD² … (ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh

AC² – CD² = AB² – BD²

AC² – CD² = AB² – (BC – CD)² [perhatikan : BD = BC – CD]

AC² – CD² = AB² – (BC² – 2.BC.CD + CD²)

AC² – CD² = AB² – BC² + 2.BC.CD – CD²

2.BC.CD = AC² + BC² – AB²

CD = $\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.BC}$ … (iii)

atau

AC² – CD² = AB² – BD²

AC² – (BC – BD)² = AB² – BD² [perhatikan : CD = BC – BD]

AC² – (BC² – 2.BC.BD + BD²) = AB² – BD²

AC² – BC² + 2.BC.BD – BD² = AB² – BD²

2.BC.BD = AB² + BC² – AC²

BD = $\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.BC}$ … (iv)

kemudian substitusi (iv) ke (i), sehingga diperoleh

AD² = AB² – BD²

AD = $\sqrt{AB^2-(\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2.BC})^2}$ … (v)

setelah itu substitusi (iii) ke (ii), sehingga diperoleh

AD² = AC² – CD²

AD = $\sqrt{AC^2-(\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2.BC})^2}$ … (vi)

Perhatikan $\triangle$ ABC diatas, kita dapat peroleh garis berat AE melalui hubungan garis AD dan CD, yaitu

AE = $\sqrt{AD^2+DE^2}$

= $\sqrt{AD^2+(DC-CE)^2}$ [perhatikan : DE = DC - CE]

= $\sqrt{AD^2+(DC-\frac{1}{2}BC)^2}$ [perhatikan : CE = BE dan CE = $\frac{1}{2}$ BC]

= $\sqrt{AD^2+DC^2-DC.BC+\frac{1}{4}BC^2}$

= $\sqrt{AC^2-DC.BC+\frac{BC^2}{4}}$ [karena (ii)]

= $\sqrt{AC^2-\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2}+\frac{BC^2}{4}}$ [karena (iii)]

= $\sqrt{\frac{4AC^2}{4}-\frac{2AC^2+2BC^2-2AB^2}{4}+\frac{BC^2}{4}}$

= $\sqrt{\frac{1}{4}(2AC^2+2AB^2-BC^2)}$

= $\frac{1}{2}$ $\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$

Jadi jika kita memiliki segitiga seperti dibawah ini, maka rumus Garis Berat nya adalah

$\frac{1}{2}$ $\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$ untuk garis berat AD

$\frac{1}{2}$ $\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$ untuk garis berat BE

$\frac{1}{2}$ $\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}$ untuk garis berat CF

Apa ada yang bertanya apakah rumus garis berat pada segitiga lainnya seperti segitiga siku-siku, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi dan segitiga tumpul sama seperti kasus ini ? Jawabanya, iya sama. Terus pembuktian pada kasus segitiga tumpul bagaimana ? Silahkan dicoba, pembuktiannya sama dengan tulisan ini.