Persamaan Garis Singgung - SMP

Sebelum kita belajar ke materi inti yaitu cara mencari persamaan garis singgung kurva, kita harus tahu dulu mengenai gradien garis yang disimbolkan dengan m, dimana :

• gradian garis untuk persamaan y=mx+c adalah m
• gradien garis untuk persamaan ax+by=c, maka m=-a/b
• gradien garis jika diketahui dua titik, misal (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari gradien garisnya                            m=(y2-y1)/(x2-x1)

Gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

• jika saling sejajar maka m1=m2
• jika saling tegak lurus maka m1.m2=-1 atau m1=-1/(m2)

Persamaan Garis Singgung Kurva

Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan m = f'(x1). Sementara itu x1 dan y1 memiliki hubungan y1 = f(x1). Sehingga persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).

Jadi intinya jika kita akan mencari persamaan garis singgung suatu kurva jika diketahui gradiennya m dan menyinggung di titik (x1,y1) maka kita gunakan persamaan

y-y1=m(x-x1)

Sedangkan jika diketahui 2 titik, misalnya (x1,y1) dan (x2,y2) maka untuk mencari persamaan garis singgung dari dua titik tersebut kita dapat gunakan persamaan

Agar lebih memahami mengenai materi persamaan garis singgung tersebut, perhatikan beberapa contoh soal berikut ini :

1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ – 3x di titik (2, 3) ?

Jawab :
f(x) = x³ – 3x
f ‘(x) = 3x² – 3
m = f ‘(2) = 12 – 3 = 9

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y1 = m(x – x1)
y – 3 = 9 (x – 2)
y – 3 = 9x – 18
y = 9x – 15

2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 7x² + 20  di titik yang berabsis 2 ?

Jawab :
x = 2
y = x⁴ – 7x² + 20 = y = 2⁴ – 7.2² + 20 = 16 – 28 + 20 = 8
m =y’ = 4x³ – 14 x = 4.2³ – 14.2 = 32 – 28 = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 8 = 4(x – 2)
y – 8 = 4x – 8
y = 4x

3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Jawab :
Ordinat adalah nilai y, maka
y = 18
x³ + 10 = 18
x³ = 8
x = 2

m = y’ = 3x² = 3.2² = 12

Sehingga persamaan garis singgungnya
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 18 = 12(x – 2)
y – 8 = 12x – 24
y = 12x – 16

5. Persamaan garis singgung pada kurva y = x⁴ – 5x² + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :
ordinat = 6
x⁴ – 5x² + 10 = 6
x⁴ – 5x² + 4 = 0
(x² – 1)(x² – 4) = 0
(x + 1)(x – 1)(x + 2)(x – 2) = 0
x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

untuk x = -1
m = 4x³ – 10x = -4 + 10 = 6
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 6(x + 1)
y – 6 = 6x + 6
y = 6x + 12

Untuk x = 1
m = 4x³ – 10x = 4 – 10 = -6
y – y₁ = m(x – x₁)
y –  6 = -6(x – 1)
y – 6 = -6x + 6
y = -6x + 12

Untuk x = -2
m = 4x³ – 10x = 4(-2)³ – 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = -12(x + 2)
y – 6 = -12x – 24
y = -12x – 18

Untuk x = 2
m = 4x³ – 10x = 4.2³ – 10.2 = 4.8 – 20 = 32 – 20 = 12
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 6 = 12(x – 2)
y – 6 = 12x – 24
y = 12x – 18

Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x – 18 dan y = 12x – 18